模拟电路设计系列讲座四:二阶系统响应

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二阶系统是指含有两个极点的系统。对于一个二阶系统,如果只是包含电阻和电容,不包含电感或者受控源,那么此二阶系统的极点都位于实轴上,不会引起超调或者振荡。如果二阶系统包含互相交换和传递能量的储能器件或者受控源,在瞬态响应阻尼不足的情况下,就会发生超调或者振荡,这样的二级系统包含如下系统:

弹簧系统

LC振荡系统

运放RC反馈系统

其他

一:弹簧二阶振荡系统

对于上图所示的二级系统,如果定义y为M的位移,k为弹簧系数,那么我们会得出:

再根据牛顿定律,我们得到:

因此我们得到此弹簧系统的二阶微分方程如下:

根据微积分知识,我们假设:

带入上述微分方程并求解,我们得到:

此频率就是此弹簧系统的振荡频率。

二:RLC二阶振荡系统

此RLC二阶系统的传递函数为:

此二阶系统已经被整理成二阶振荡系统的标准形式,其中ωn是自然振荡角频率,ζ是阻尼因子。

物理意义上看,ωn的大小可以反映此系统响应的相对速度;ζ的大小可以反映出此系统阶跃响应的振荡程度以及频率响应的振荡峰值大小。ζ定义为电阻R与Zo的比值,其中Zo是RLC二阶振荡系统中反复提到的一个概念-特征阻抗。

此二阶系统频率响应的幅频以及相频表达式如下:

下图是描绘RLC二阶系统幅值和相角随着不同阻尼因子的曲线。阻尼因子越小,wn附近频率响应的振荡峰值就越高。

下一节将继续介绍RLC二阶振荡系统的其他概念,比如极点,品质因素以及瞬态响应等。

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