孤子激光器通过平衡二阶色散和非线性可以直接产生亚10fs的脉冲，并且装置相对简单。然而，受限于孤子面积理论，孤子能量无法进一步提升。为了克服这个限制，需要激发带啁啾的脉冲，但后续的压缩使光路更加复杂同时效率也将降低。因此，为了保留孤子激光器的简单和高效性，需要新的方法克服孤子激光器的功率提升局限性。
最近的几项研究表明，在非线性和负四阶色散的平衡下存在纯四次孤子（Pure quartic soliton），其脉冲形状保持不变。纯四次孤子具有能量扩展的优势，在短脉宽条件下可以得到更高能量的脉冲。科学家希望将这一发现过渡到目前比较成熟的光纤激光器中。然而，色散控制所需的制造工艺要求非常严格，如何在光纤中进行色散管理以实现四次孤子成为需要解决的难题。
图1 纯四次孤子激光器原理示意图
Runge等人利用光谱脉冲整形器实现了腔内的色散控制，首次在光纤激光器中获得了纯四次孤子［1］。装置如图1所示，掺铒光纤激光器采用非线性偏振旋转锁模机制，腔长21．4m，对应的基阶重复频率为9．3MHz。基于空间光调制器的可编程脉冲整形器可以产生任意的相位控制腔内色散，主要有两个作用：（1）补偿腔内光纤引入的二阶和三阶色散；（2）提供大量的负四阶色散。
图2 实验上和理论上常规孤子（abcd）和纯四次孤子（efgh）的光谱和时域曲线
脉冲整形器不提供相位补偿时，激光器工作在常规孤子区域，实验和理论模拟结果如图2（a－d）所示，脉冲的中心波长为1563nm，光谱宽度3．72nm，脉冲宽度为1．23ps，具有凯利边带，为典型的常规孤子。利用脉冲整形器补偿相位并引入大量负四阶色散后，实验和理论模拟结果如图2（e－h）所示，脉冲的光谱宽度为3．16nm，脉冲宽度为1．74ps，稍带啁啾。与常规孤子相比，纯四次孤子光谱的中心处更加平坦，并且具有较强的窄间距光谱边带。
图3 旁瓣分析
与常规孤子相似，纯四次孤子在谐振腔中传播时受到扰动产生这些边带。当纯四次孤子和边带的传播常数满足相长干涉时，会导致光谱峰变窄。对于四阶色散腔中传播的线性波而言，第m阶共振峰满足以下关系：
实验上将边带频率的四次方和其阶次对应，如图3b所示，发现满足线性关系，与理论符合。并且，改变四阶色散的值，仍然满足线性关系，如图3d所示。
考虑到常规孤子激光器的能量限制，作者研究了四阶孤子脉冲能量和脉冲宽度的关系，理论和数值模拟表明，四阶孤子能量由下式决定：
纯四次孤子能量与脉冲宽度的三次方成反比。改变输入功率，对除去边带部分光谱进行积分得到脉冲能量，根据时间带宽积0．67得出脉冲宽度。
考虑到纯四次孤子和常规孤子物理的相似性，同年，Runge等人理论上研究了脉冲在包含正四阶色散和增益的介质中的自相似传播［2］。在四阶正色散情况下，脉冲向新的渐进解演化，其时域和频域曲线与二阶色散情况下显著不同。理论结果表明，随着传输距离增加，脉冲保持其形状不变，强度与T＾｛4／3｝成正比，瞬时频率和T＾｛1／3｝成正比。该自相似脉冲的宽度和强度都呈指数增长，并且总增益的3／7用于增加脉冲宽度，4／7用于增加脉冲强度。
脉冲在介质中传播时，由于非线性效应会产生新的频率成分。通常，脉冲的前沿红移，脉冲的后沿蓝移。对于自相似脉冲而言，其瞬时频率正比于T＾｛1／3｝，即瞬时频率的3次方正比于时间T（？ω3∝T）。另外，在只有四阶色散情况下，群延时beta＿1与频率变化的三次方成正比（beta＿1＝beta＿4？ω3）。所以，局部群延时与时间T呈线形关系。结果是脉冲在传播过程中保持T＾｛4／3｝的强度分布不变。
图4 理论和模拟自相似演化输出时域曲线和频域曲线实线：理论结果；圆圈：数值模拟结果
为了验证理论推测，作者基于分步傅里叶法模拟了脉冲的演化，模拟结果与理论推测非常吻合（如图4所示）。脉冲光谱如图4b所示，呈现双峰结构。并且由于色散为正，脉冲的前沿蓝移，脉冲的后沿红移。
图5为不同脉冲宽度下振幅和脉冲宽度随传播距离的演化，表明四阶色散中的自相似脉冲的振幅和脉宽与入射脉冲形状和入射脉冲宽度无关。这与二阶色散情况下一致。
图5不同脉冲宽度下振幅和脉冲宽度随传播距离的演化
基于正四阶色散中的自相似演化，作者模拟了一台激光器系统，如图6a所示，腔内包含7m长的无源四阶色散光纤、1m长的有源四阶色散光纤、可饱和吸收体、输出耦合器和滤波器。输出脉冲形状和光谱如图6b和6c所示，时域上为三角形脉冲，频域上为双峰结构，模拟结果与理论分析完全匹配。
图6 四阶自相似光纤激光器概念模型
上述两项工作研究了四阶色散和克尔非线性的相互作用，表明纯四次孤子和四阶自相似脉冲与传统的孤子和自相似在物理上具有相似性，为孤子能量和脉冲宽度扩展以及自相似的产生提供了新的自由度，在超快光纤激光器、片上频率梳、超连续产生等方面有重要意义。
